Minecraft击退距离分析

Minecraft 击退距离的定量分析

本文旨在定量分析Minecraft中玩家被击退时的飞行距离。我们将从最简单的静止状态开始，逐步加入疾跑、连击等复杂条件，推导出通用的计算模型。

前置理论视频：BV164gMzAEkW

核心定义与符号约定

为防止歧义，首先明确本文的核心概念与数学符号：

术语	定义与说明
击退	实体从被命中瞬间开始，到其落回地面为止的整个运动过程。
击退距离 (D)	击退过程中实体在水平面产生的净位移。**方向约定：与玩家被击退时的面朝方向相同为正 (+)，相反为负 (-)**。
击退初速度 (V₀)	服务器在击退开始时赋予实体的瞬时速度矢量。本文中，定义V₀的水平分量为M₀
玩家输入速度 (I)	由WASD移动输入产生的加速度。地面疾跑时 I_g ≈ 0.1274，空中时 I_a ≈ 0.02548。
阻力系数 (f)	每Tick速度衰减乘数。默认 f = 0.91。站在地面、攻击其他玩家，两者都会分别额外在 f 上乘以0.6。
Tick (t)	游戏的时间单位，1 Tick = 0.05秒。文中的时序以击退发生的瞬间为 t = 0。

---

静止状态下的击退

情景与数据

此情景为最简模型，用于建立分析基准：

• 玩家状态：完全静止，无任何移动输入。
• 击退参数：水平初速度 $M_0 = -0.4$。
• 过程：玩家在 0 tick 被击退作用，10 tick 回到地面。（tick = 0,10时均在地面）
• 实验数据图：

速度计算

在无输入状态下，速度每Tick按阻力系数衰减。由于击退发生在t=0之初，且玩家起始于地面：

• Tick 1（地面）：$M_1 = M_0 × f_{ground} = M_0 × (0.6 × 0.91)$
• Tick 2-10（空中）：速度递推公式为 $M_t = M_{t-1} × f_{air}$。

由此可推导出第 t Tick末的速度通项公式：

$$M_t = M_0 × 0.6 × 0.91^{\,t-1} \quad (1 \le t \le 9)$$

位移计算与基准公式

位移在速度衰减前计算：

$$\Delta{D_t} = M_{t-1}$$

总击退距离为各Tick位移增量之和：

$$\begin{aligned} D_{\text{静止}} &= \sum_{t=1}^{10} \Delta D_t \\ &= M_0 + \sum_{t=2}^{10} (M_0 × 0.6 × 0.91^{\,t-2}) \\ &= M_0 × \left(1 + 0.6 \sum_{k=0}^{8} 0.91^k \right) \\ &\approx M_0 × 4.470562 \end{aligned}$$

代入 $M_0 = -0.4$，得 D ≈ -1.7882248,与图中数据吻合。

此模型给出静止击退基准系数 K ≈ 4.4706：

$$\boxed{D_{\text{静止}} \approx M_0 \times K}$$

---

保持疾跑状态的击退

情景

• 玩家状态：被击退前后全程按住疾跑。
• 击退参数：M₀ = -0.4。

速度计算

设 M₀ 为第 t Tick开始时的速度（含方向，负值代表与面朝方向相反）。其更新规律为：

1. 加速：先加上输入速度 I（恒正）。
2. 移动：使用加速后的速度计算位移。
3. 衰减：最后乘以阻力系数 f，得到下一Tick初速。

即：

$$M_{t} = (M_{t-1} + I_{t-1}) \times f_{t-1}$$

$I_{ground} = 0.1274, I_{air} = 0.02548$ $f_{ground} = 0.6 \times 0.91, f_{air} = 0.91$

递推后可得:

$$M_t = M_0 \prod_{j=0}^{t-1} f_j + \sum_{k=0}^{t-1} I_k \prod_{j=k}^{t-1} f_j$$

带入具体数值可得:

$$\begin{align*} M_t &= 0.257631 + (0.91)^{\,t-1} \left( 0.546 M_0 - 0.1880706 \right) \\ &= 0.257631 - 0.4064706 \times (0.91)^{\,t-1} \end{align*}$$

位移计算与结果

第 t Tick的位移增量：

$$\Delta{D_t} = M_{t-1} + I_{t-1}$$

总击退距离：

$$\begin{aligned} D_{\text{疾跑}} &= \sum_{t=1}^{10} (M_{t-1} + I_{t-1}) \\ &= K × M_0 + C\\ &\approx 4.4703 × (-0.4) + 1.48 \\ &\approx -0.30812 \end{aligned}$$

---

疾跑状态下高频点击（20 CPS）

核心机制

每次击中其他玩家，当前水平速度会乘以 0.6, 可以当作阻力来处理。

模型修正与计算

此规则可视为对每个Tick位移增量的全局缩放。因此，在疾跑模型的基础上，总位移近似为：

$$\begin{aligned} D_{\text{20cps}} &\approx D_{\text{疾跑}} × 0.6 \\ &= (4.4703 × (-0.4) + 1.48) × 0.6 \\ &\approx 0.2443 \end{aligned}$$

---

一般情况

求解击退距离函数

我们考虑击退过程持续 $x$ 个 tick（$1 \leq x \leq 10$）。第 $i$ 个 tick 的移动量 $\Delta P_i$ 定义为：

$$\Delta P_i = M_{i-1} + I_{i-1},$$

其中 $M_i$ 是第 $i$ tick 的动量，满足递推关系：

$$M_i = (M_{i-1} + I_{i-1}) \times f_{i-1}$$

前 $x$ 个 tick 的击退距离 $D(x)$ 为：

$$D(x) = \sum_{i=1}^{x} \Delta P_i = \sum_{i=1}^{x} (M_{i-1} + I_{i-1}) = \sum_{i=0}^{x-1} M_i + \sum_{i=0}^{x-1} I_i$$

代入 $M_i$ 的通项公式：

$$M_i = M_0 \prod_{j=0}^{i-1} f_j + \sum_{k=0}^{i-1} I_k \prod_{j=k}^{i-1} f_j$$

得到：

$$\begin{aligned} D(x) &= \sum_{i=0}^{x-1} \left( M_0 \prod_{j=0}^{i-1} f_j + \sum_{k=0}^{i-1} I_k \prod_{j=k}^{i-1} f_j \right) + \sum_{i=0}^{x-1} I_i \\ &= M_0 \sum_{i=0}^{x-1} \prod_{j=0}^{i-1} f_j + \sum_{i=0}^{x-1} \sum_{k=0}^{i-1} I_k \prod_{j=k}^{i-1} f_j + \sum_{k=0}^{x-1} I_k \end{aligned}$$

合并含 $I_k$ 的项，交换求和顺序：

$$D(x) = M_0 \sum_{i=0}^{x-1} \prod_{j=0}^{i-1} f_j + \sum_{k=0}^{x-1} I_k \left( 1 + \sum_{i=k+1}^{x-1} \prod_{j=k}^{i-1} f_j \right)$$

将系数写为统一形式（当 $i = k$ 时，空乘积定义为 1）：

$$1 + \sum_{i=k+1}^{x-1} \prod_{j=k}^{i-1} f_j = \sum_{i=k}^{x-1} \prod_{j=k}^{i-1} f_j$$

因此，最终得到一般公式：

$$\boxed{D(x) = M_0 \sum_{i=0}^{x-1} \prod_{j=0}^{i-1} f_j + \sum_{k=0}^{x-1} I_k \sum_{i=k}^{x-1} \prod_{j=k}^{i-1} f_j}$$

其中 $1 \leq x \leq 10$，且所有空乘积定义为 1。

观察后不难发现:

• 距离公式是形如 $D(x) = M_0 \times A + B$ 的线性公式
  • $A = \sum_{i=0}^{x-1} \prod_{j=0}^{i-1} f_j$, 只与 $f_i$ 有关
  • $B = \sum_{k=0}^{x-1} I_k \sum_{i=k}^{x-1} \prod_{j=k}^{i-1} f_j$, 与$f_i, I_k$有关
  • 击退距离与 $M_0$ 线性相关

分析函数

一般而言，有 $x = 10$ ，即:

$$D = M_0 \sum_{i=0}^{9} \prod_{j=0}^{i-1} f_j + \sum_{k=0}^{9} I_k \sum_{i=k}^{9} \prod_{j=k}^{i-1} f_j$$

由于实际计算过于烦杂，这里提供Python程序求函数$D$:

import math

# 计算A的值（M0的系数）
def calculateA(f):
    n = 10
    A = 0.0

    for i in range(n):
        product = 1.0
        for j in range(i):
            product *= f[j]
        A += product

    return A


# 计算B的值（常数项）
def calculateB(f, I):
    n = 10
    B = 0.0

    for k in range(n):
        B_k = 0.0
        # 计算B_k = Σ_{i=k}^{9} Π_{j=k}^{i-1} f_j
        for i in range(k, n):
            product = 1.0
            for j in range(k, i):
                product *= f[j]
            B_k += product
        B += I[k] * B_k

    return B


def main():
    M0 = -0.24

    # 初始化列表
    f = [0.91 * 0.6 for _ in range(10)]
    I = [0.02548 for _ in range(10)]

    # 修改第一个元素
    f[0] = 0.546 * 0.6
    I[0] = 0.1274

    A = calculateA(f)
    B = calculateB(f, I)
    D = A * M0 + B

    print(f"数值公式: D = {A} × M + {B}")
    print(f"代入 M = {M0} 计算：")
    print(f"击退距离 D = {D}")


if __name__ == "__main__":
    main()

以下，是通过脚本求得的一些距离公式参数:

tick	A	B	D
0	4.47056	1.47996	-0.308264
1	3.08234	1.3031	0.0701655
2	2.38044	1.15909	0.20691
3	2.03085	1.03756	0.225219
4	1.86016	0.933692	0.189626
5	1.77908	0.845606	0.133974
6	1.74208	0.773022	0.0761913
7	1.72623	0.716549	0.0260559
8	1.7202	0.677326	-0.0107539
9	1.71847	0.656838	-0.0305512

• tick = 0 时，表示玩家不攻击
• tick = i 时候， 表示玩家前i tick进行了攻击
• 此处的 $M_0 = -0.4$

---

间隔点分析

原理分析

由于玩家的击退基本上可以分为两段

1. $M_i < 0$, 且逐渐减为0，对击退距离的贡献是负的
2. $M_i > 0$, 且逐渐增大，对击退距离的贡献是正的

要使得击退距离($D$)最大，就得使得第一阶段尽量小，第二阶段尽量大，也就是第一阶段尽量大。

间隔点就是为了实现这一目标的，只在击退后点击$x$次，让前半段有点击的$0.6$阻力，后半段没有，尽量使得 $D$ 最大。

最佳间隔点次数

到这里，通用公式的推导过于复杂，不便于分析，在这里通过python生成一些图表，来研究不同的 $M_0$ 下，最优的x选择

观察图表，发现:

• 即使是 -1 的击退，最优的x也只有4，不到10 tick的一半，意味着其实间隔点击需要的就是尽量快，0.05s的间隔，4次点击，总时间也只有0.2s

失误情况

由于间隔点非常依赖于对刀节奏，相对于连续点击，我们很有可能，被击退作用后x个Tick，才开始间隔点，漏掉了几个tick，我们使用python脚本模拟，2,4,6,8次间隔点，在空了x个Tick后才开始间隔点,与全程连续点的击退距离差

通过上图，我们可以把情况大致分为2类:

1. $|M_0| > 0.2$:

   这种情况下，我们几乎没有对x(开始没打到人)的容忍度，即使是1tick没有点击到，即使是最佳的4次点击，也会使得间隔点劣于不用管对刀节奏的连续点

2. $|M_0| < 0.2$

   这种情况下，无论多少x为多少，点击次数多少，间隔点总是优于连续点，但是一般来说，很少有服务器的$|M_0|$会小于0.2,基本都在0.4以上（你可以利用前文的公式，直接算出服务器的$M_0$来验证