网络延迟效应定量分析

延迟效应定量分析

本文已过时，是早期草稿。文中的模型、假设和结论可能不适用于当前的分析，请谨慎参考。

1. 背景与概念

在网络同步的实时应用中，由于数据传输存在固有延迟，不同客户端对同一事件的感知会出现差异。本文旨在定量分析这种延迟对双方交互（如攻击判定）产生的影响。

1.1 感知的定义

对于任意实体或现象 $\sigma$，在客户端 $x$ 的感知下记作 $\sigma^{\hat{x}}$。

1.2 符号说明

符号	含义
$p_x(t)$	客户端 $x$ 在时刻 $t$ 感知到的自身位置
$P_x^{\hat{y}}(t)$	在 $y$ 的感知中，$x$ 在时刻 $t$ 的位置
$\Delta_\alpha p_x(t)$	位置变化量：$p_x(t) - p_x(t - \alpha)$
$\tau_x$	从客户端 $x$ 到服务器的往返时延（RTT）
$D^{\hat{x}}(t)$	在 $x$ 的感知中，双方在时刻 $t$ 的距离

2. 基本假设

为简化分析，作出以下关键假设：

• 假设1：服务器内部处理延迟为零，所有延迟仅来源于网络传输。
• 假设2：位置信息在客户端与服务器之间按时间顺序可靠传输。
• 假设3：每个客户端对自身位置的感知是即时的，即 $p_x(t) = P_x^{\hat{x}}(t)$。

3. 延迟下的感知推导

3.1 关键参数定义

定义半程时延 $r$ 和全时延 $R$：

$$r = \frac{\tau_A + \tau_B}{2}, \quad R = 2r = \tau_A + \tau_B$$

3.2 感知位置的基本关系

客户端 A 发出的位置信息需要经过时间 $r$ 才能被 B 完全接收。因此，双方对彼此位置的感知满足：

$$P_A^{\hat{B}}(t + r) = p_A(t)$$ $$P_B^{\hat{A}}(t + r) = p_B(t)$$

3.3 感知距离的表达

在任意时刻 $t$，双方感知到的彼此距离为：

• 在 B 的感知中：

  $$\begin{aligned} D^{\hat{B}}(t) &= P_B^{\hat{B}}(t) - P_A^{\hat{B}}(t) \\ &= p_B(t) - p_A(t - r) \end{aligned}$$

• 在 A 的感知中：

  $$\begin{aligned} D^{\hat{A}}(t) &= P_B^{\hat{A}}(t) - P_A^{\hat{A}}(t) \\ &= p_B(t - r) - p_A(t) \end{aligned}$$

  3.4 感知距离的增量

$$\begin{aligned} \Delta_x D^{\hat{B}}(t) &= \Delta_x p_B(t) - \Delta_x p_A(t - r)\\ \Delta_x D^{\hat{A}}(t) &= \Delta_x p_B(t - r) - \Delta_x p_A(t) \end{aligned}$$

3.5 感知距离的关联

将以上两式结合，可得双方感知距离的关系：

$$\begin{aligned} D^{\hat{B}}(t) - D^{\hat{A}}(t) &= [p_B(t) - p_A(t - r)] - [p_B(t - r) - p_A(t)] \\ &= [p_B(t) - p_B(t - r)] + [p_A(t) - p_A(t - r)] \\ &= \Delta_r p_B(t) + \Delta_r p_A(t) \end{aligned}$$

即：

$$D^{\hat{B}}(t) = D^{\hat{A}}(t) + \Delta_r p_B(t) + \Delta_r p_A(t)$$

4. 攻击判定的临界条件

考虑 A 对 B 发动连续攻击（Combo）成功的条件。假设攻击有效距离为 3 个单位。

4.1 成功攻击的必要条件

1. 条件一（A能打中B）：在A的感知中，存在某个时刻 $t_0$ 使得距离小于攻击范围。

   $$\exist t_0,D^{\hat{A}}(t_0) < 3$$

2. 条件二（B打不中A）：在B的感知中，任何时刻距离都大于攻击范围。

   $$\forall t, D^{\hat{B}}(t) > 3$$

不妨先设:

$$\exist t_x, 3 < D^{\hat{B}}(t_0 + t_x) \leq D^{\hat{B}}(t)$$

将$t = t_0 + t_x$代入感知距离关联式：

$$D^{\hat{B}}(t_0 + t_x) = D^{\hat{A}}(t_0 + t_x) + \Delta_r p_B(t_0 + t_x) + \Delta_r p_A(t_0 + t_x)$$

又因:

$$\begin{aligned} D^{\hat{A}}(t_0 + t_x) &= D^{\hat{A}}(t_0) + \Delta_{t_x} D^{\hat{A}}(t_0 + t_x) \\ &= D^{\hat{A}}(t_0) + \Delta_{t_x} p_B(t_0 + t_x - r) - \Delta_{t_x} p_A(t_0 + t_x) \end{aligned}$$

代入条件二：

$$\begin{aligned} 3 &< D^{\hat{B}}(t_0 + t_x) \\ &= D^{\hat{A}}(t_0 + t_x) + \Delta_r p_B(t_0 + t_x) + \Delta_r p_A(t_0 + t_x) \\ &= D^{\hat{A}}(t_0) + \Delta_{t_x} p_B(t_0 + t_x - r) - \Delta_{t_x} p_A(t_0 + t_x) + \Delta_r p_B(t_0 + t_x) + \Delta_r p_A(t_0 + t_x) \\ &= D^{\hat{A}}(t_0) + [\Delta_{t_x} p_B(t_0 + t_x - r) + \Delta_r p_B(t_0 + t_x)] + [ \Delta_r p_A(t_0 + t_x) - \Delta_{t_x} p_A(t_0 + t_x)] \end{aligned}$$

4.3 结论

A成功发动Combo需同时满足：

$$\boxed{\exist t_0, t_x, \quad 3 - \Gamma(t_0, t_x) < D^{\hat{A}}(t_0) < 3}$$

其中，我们称 $\Gamma(t_0, t_x)$ 为 combo 容错，定义如下：

$$\Gamma(t_0, t_x) = [\Delta_{t_x} p_B(t_0 + t_x - r) + \Delta_r p_B(t_0 + t_x)] + [ \Delta_r p_A(t_0 + t_x) - \Delta_{t_x} p_A(t_0 + t_x)]$$

A 感知形式:

$$\boxed{\Gamma(t_0, t_x) = [\Delta_{t_x} P_B^{\hat{A}}(t_0 + t_x) + \Delta_r P_B^{\hat{A}}(t_0 + t_x + r)] + [ \Delta_r p_A(t_0 + t_x) - \Delta_{t_x} p_A(t_0 + t_x)]}$$

这里 $t_x$ 是满足 $D^{\hat{B}}(t_0 + t_x) \leq D^{\hat{B}}(t)$（即B感知距离最小值时刻）的时间偏移。

4.4 $t_x$ 的取值

$t_x$ 的本质，是B感知距离最近，且可以攻击时候，与 A 攻击时 $t_0$ 的偏移量。

首先考虑维持combo的情况：

要找到 $t_y = t_0 + t_x$，使得 $D^{\hat{B}}(t_y)$ 取得最小值，在维持combo的情况下它是一个类似于抛物线的函数，因此，它应该满足:

$$\begin{aligned} \Delta_1 D^{\hat{B}}(t_y) &= \Delta_1 p_B(t_y) - \Delta_1 p_A(t_y - r) < 0\\ \Delta_1 D^{\hat{B}}(t_y + 1) &= \Delta_1 p_B(t_y + 1) - \Delta_1 p_A(t_y - r + 1) > 0 \end{aligned}$$

变形后可得：

$$\begin{aligned} \Delta_1 p_A(t_y - r) &> \Delta_1 p_B(t_y)\\ \Delta_1 p_B(t_y + 1) &> \Delta_1 p_A(t_y - r + 1) \end{aligned}$$

1. **若 $\Delta_1 p_B(t_y) > \Delta_1 p_B(t_y + 1)$(B减速)**：

   $$\Delta_1 p_A(t_y - r) > \Delta_1 p_B(t_y) > \Delta_1 p_B(t_y + 1) > \Delta_1 p_A(t_y - r + 1)$$

2. **若 $\Delta_1 p_B(t_y) < \Delta_1 p_B(t_y + 1)$(B加速)**：

不妨设 $\gamma = \Delta_1 p_B(t_y + 1) - \Delta_1 p_B(t_y) > 0$，因此我们有:

$$\begin{aligned} \Delta_1 p_A(t_y - r) &> \Delta_1 p_B(t_y)\\ \Delta_1 p_A(t_y - r) + \gamma &> \Delta_1 p_B(t_y + 1) \end{aligned}$$

所以：

$$\Delta_1 p_A(t_y - r) + \gamma > \Delta_1 p_B(t_y + 1) > \Delta_1 p_A(t_y - r + 1)$$

要满足这两条件的最佳时机，应当是B受到击退的时候，此时B加速，以wihar为例，$\Delta_1 p_B(t_y + 1) \approx 0.6 \gg 0.39193838$ \geq p_A(t_y - r + 1)$$因此，在这种情况下，我们总是有

$$\begin{aligned} t_0 &= t_y - r \\ t_0 &= t_0 + t_x - r \\ t_x &= r \end{aligned}$$

带入公式可得：

$$\boxed{\Gamma(t_0, r) = \Delta_R P_B^{\hat{A}}(t_0 + R)}$$

考虑 $\Delta D^{\hat{B}}(t) > 0$ 的情况:

在这种情况下，双方一直在远离，$t_y$ 应当取得最小值，若双方不使用 hs，那么攻击的时刻应该是相同的，我们就有

$$t_y = t_0$$

带入可得：

$$\boxed{\Gamma = \Delta_r P_B^{\hat{A}}(t_0 + r) + \Delta_r p_A(t_0)}$$

若有hs，我们可以大致认为距离跟击退末尾的速度有关，我们记作 $k(t)$:

$$\Gamma(t_0, t_x) = [\Delta_{t_x} k_B(t_x - r) + \Delta_r k_B(t_x)] + [ \Delta_r k_A(t_x) - \Delta_{t_x} k_A(t_x)]$$